Kali ini saya menuliskan bahasan matematika tentang faktorial. Ide penulisan ini muncul ketika saya tidak sengaja menemukan hubungan-hubungan unik terkait dengan faktorial.

Misalkan saya ambil sebuah bilangan bulat positif n, kemudian saya kalikan berturut-turut bilangan tersebut dengan bilangan-bilangan yang lebih kecil yaitu $n-1, n-2, n-3,\ldots$ dan seterusnya. Sehingga saya mendapat sebuah bentuk

$n!=n.(n-1)(n-2)\ldots2.1.0!$ dengan $0!=1$.

Ya, itu faktorial. Saya menyangka sebelumnya definisi faktorial ini hanya berlaku untuk n bilangan bulat positif saja, namun ternyata untuk himpunan bilangan lain pun bisa digunakan. Misalnya bilangan rasional $n=\tfrac{7}{2}$, maka

$n!=\left(\tfrac{7}{2}\right)!=\tfrac{7}{2}.\tfrac{5}{2}.\tfrac{3}{2}.\left(\tfrac{1}{2}\right)!=\tfrac{105}{8}.\left(\tfrac{1}{2}\right)!$

Darimanakah kita mendapatkan $\left(\tfrac{1}{2}\right)!$?

Cukup rumit memang, tapi jangan kaget jika definisi faktorial untuk bilangan pecahan ternyata ada definisinya. Langkah-langkah yang dilakukan para matematikawan untuk menjawab ini terkesan induktif. Mari kita lihat hubungn-hubungan faktorial

$(n+1)!=(n+1).n!$

Misalkan tanda faktorial adalah sebuah fungsi. Setelah ditemukan (saya tidak tahu ini kebetulan atau tidak) oleh leluhur matematikawan kita Leonhard Euler ternyata ada fungsi yang menyerupai definisi faktorial yang saya sebutkan di atas. Fungsi itu adalah Fungsi Gamma

$\Gamma (n+1)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{n} \,dx$

dimana

$\Gamma(n+1)=(n+1).\Gamma(n)$

Sehingga penyelesaian secara analisis untuk menghitung nilai $\left(\frac{1}{2}\right)!$ adalah

$\left( \frac{1}{2} \right)!=\Gamma \left( -\frac{1}{2}\right)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{-\tfrac{1}{2}} \,dx=\sqrt{\pi}$

Ajaib, kok bisa? coba anda cari tahu sendiri. Untuk bilangan irrasional pun bisa tetapi biasanya dihitung secara numerik.

Kita coba lagu misalnya $n=-2$, maka

$n!=(-2)!=-2.(-3)!=-2.-3.-4\ldots$

dan seterusnya

Ternyata untuk $n$ bilangan bulat negatif faktorial tidak terdefinisi karena nilainya yang mengecil secara terus menerus sampai bilangan negatif tak hingga. Tapi coba lihat kasus berikut

$(1-x)^{-1}$

Kita hitung dengan Teorema Binomial Newton, dimana

$(a+b)^n= \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^{n-i}.b^i$

dengan $\binom{n}{i}=\frac{n!}{(n-i)!i!}$

sehingga

$(1-x)^{-1}=\sum_{i=0}^{-1}\binom{-1}{i}1^{-1-i}.(-x)^{i}=\sum_{i=0}^{-1}\binom{-1}{i}(-x)^{-1}$ $=\binom{-1}{0} + \binom{-1}{1}.x + \binom{-1}{2}.x^2+ \ldots$

kita hitung satu persatu nilai kombinasi

$\binom{-1}{0}=\frac{(-1)!}{(-1)!0!}=1$
$\binom{-1}{1}=\frac{(-1)!}{(-2)!1!}=-1$
$\binom{-1}{2}=\frac{(-1)!}{(-3)!2!}=1$
$\ldots$

dan kita dapat koefisien dari $x$ dengan menghitung nilai kombinasi tersebut. Kita peroleh

$(1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+\ldots$

Ternyata definisi faktorial bisa kita peroleh untuk berbagai himpunan bilangan, sudah saya sebutkan definisi faktorial yang sudah saya jelaskan di atas

1. Himpunan bilangan bulat positif
2. Himpunan bilangan bulat negatif
3. Himpunan bilangan bulat rasional
4. Himpunan bilangan bulat irasional

Satu lagi. Apa coba? Himpunan bilangan kompleks. Yup, benar sekali. Apakah ada definisi faktorialnya? saya tantang kepada anda karena sampai sekarang pun saya belum menemukan kasus penggunaan faktorial untuk himpunan bilangan yang satu ini.

Semoga Bermanfaat.