Penemuan tentang analisis vektor di dunia matematika telah banyak mengubah pandangan kita terhadap dunia fisik. Dahulu mungkin seorang matematikawan (baca: orang yang ahli matematika) tidak mampu memodelkan fenomena alam secara “indah” dengan berkutat di atas kertas. Dengan analisis vektor semuanya bisa terjadi. Kejadian alam yang sederhana sampai yang rumit bisa dimodelkan persamaan matematika, di mana notasi-notasi vektor menjadi artis utama keindahan dan keelokan matematika itu sendiri. Bagaimana tidak? karena dengan notasi-notasi vektor itulah persamaan matematika menjadi lebih hidup, lebih “terbayang”, dan terkesan elegan.

Kali ini saya akan menunjukan keindahan persamaan matematika dari persamaan gerak. Misalkan terdapat suatu vektor yang kita sebut sebagai $\vec{r}$. Vektor ini bisa berada pada bidang maupun ruang yang tergantung pada besaran waktu. Apabila $\vec{r}$ menyatakan posisi suatu benda maka kita bisa mengetahui keberadaan benda itu pada waktu apapun. Dan hebatnya dengan $\vec{r}$ dapat diketahui kecepatan dan percepatan benda tersebut. Ya, dengan satu notasi vektor kita dapat memodelkan gerak fisik suatu benda.

Lebih mudahnya coba Anda bayangkan diri Anda berjalan dari posisi satu ke posisi lainnya. Posisi awal Anda misalkan rumah. Ketika Anda berjalan ke posisi lain maka yang saya maksud $\vec{r}$ adalah jarak dan arah posisi Anda dari rumah tersebut.

Namun, secara lebih umum model pergerakan suatu benda kita bisa buat secara umum dengan menggunakan sistem koordinat cartesian.



Dari $\vec{r}$, apakah bisa muncul persamaan lain. Ya, seperti yang saya telah jelaskan sebelumnnya $\vec{r}$ dapat memunculkan persamaan kecepatan dan percepatan benda. Karena

$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$

Maka $\vec{v}$ menyatakan kecepatan suatu benda pada posisi yang tergantung pada besaran waktu. Karena $\vec{v}$ adalah vektor maka mempunyai besar dan arah dan kita dapat nyatakan bahwa

$\vec{v}=|v|\hat{v}$

Vektor satuan $\hat{v}$ menyatakan arah dari kecepatan benda. Dalam persamaan garis, maka $\hat{v}$ ini sama halnya dengan gradien garis singgung dan dapat dinyatakan dengan $\hat{T}$. Sehingga

$\vec{v}=|v|\hat{T}$

Dari bentuk persamaan kecepatan inilah saya menyadari ”keindahan” nya. Coba kita ambil turunan dari terhadap waktu

$\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d \left( |v|\hat{T}\right)}{dt}=\frac{dv}{dt}\hat{T}+|v|\frac{d\hat{T}}{dt}$

Dengan notasi-notasi vektor inilah dapat ditunjukan secara alamiah bahwa percepatan suatu benda ada dua buah yaitu percepatan tangensial dan percepatan sentripetal. Hal yang kita sadari mengenai percepatan biasanya hanya percepatan tangensial yang arahnya sesuai dengan arah pergerakan kita, baik searah maupun berlawanan. Sekali lagi mengapa saya katakan ”indah”, karena percepatan yang satu lagi, yaitu percepatan sentripetal dapat diturunkan dan dimunculkan secara bersamaan dengan percepatan tangensial. Sungguh luar biasa karena dengan persamaan matematika yaitu notasi vektor kita dapat mengetahui kemunculan dua percepatan ini
Apakah persamaan di atas sudah mempunyai arti? belum. Kita belum mendapatkan percepatan sentripetal. Pada persamaan itu baru kelihatan jelas bagian percepatan tangensialnya.

$\frac{dv}{dt}\hat{T}=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}\hat{T}$

Selanjutnya saya akan menguraikan bagian percepatan sentripetal yang masih belum terbentuk dari persamaan di atas.

$|v|\frac{d\hat{T}}{dt}$

Bagian ini memang cukup rumit karena melibatkan pemahaman lanjut mengenai kelengkungan garis dan perkalian titik pada vektor. Namun, tidak usah pusing karena saya akan menjelaskannya dengan mudah.
Satu masalah yang ada pada bagian percepatan sentripetal itu adalah turunan dari vektor satuan gradien garis dan ini nampak tidak mempunyai arti sama sekali. Oleh karena itu kita perlu mencari padanan dari bagian itu yaitu jari-jari kelengkungan garis yang dapat dinyatakan.

$\frac{1}{R}=\left| \frac{d\hat{T}}{ds} \right|$

Sangat perlu diketahui memang mengapa R tersebut dapat dinyatakan demikian. Jika Anda pecinta matematika mungkin Anda tidak akan tahan terhadap rasa keingintahuan yang besar mengapa bisa demikian.
Sehingga kita dapat nyatakan dengan aturan rantai,

$\frac{d\hat{T}}{dt}=\frac{d\hat{T}}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{d\hat{T}}{ds}|v|$

Karena $\hat{T}$ adalah vektor satuan maka perkalian titik sesamanya akan bernilai 1.

$\hat{T}.\hat{T}=1$

Kemudian kita turunkan terhadap s, menjadi

$\frac{ d\left(\hat{T}.\hat{T}\right) }{ds}=\frac{ d\hat{T} }{ds}\hat{T}+\hat{T}\frac{d \hat{T} }{ds}=0$

Dengan kata lain,

$\hat{T}\frac{ d\hat{T} }{ds}=0$

ini berarti tidak lain bahwa $\frac{ d\hat{T} }{ds}$ adalah tegak lurus dengan $\hat{T}$ sehingga kita dapat nyatakan suatu vektor satuan $\hat{N}$ yaitu

$\hat{N} =\frac{\frac{d\hat{T}}{ds}}{|\frac{d\hat{T}}{ds}|}$

Akhirnya bagian percepatan sentripetal terdefinisi dan mempunyai arti. Dari kompilasi persamaan di atas kita dapat nyatakan


$|v|\frac{d\hat{T}}{dt}=|v|\left ( \frac{d\hat{T}}{ds}|v| \right )=|v|^{2}\frac{d\hat{T}}{ds}$

Kemudian satu tahap lagi

$|v|^{2}\frac{d\hat{T}}{ds}=|v|^{2}\left ( \hat{N}\left | \frac{d\hat{T}}{ds}\right | \right )=\frac{|v|^{2}}{R}\hat{N}$

Akhirnya secara umum percepatan adalah

$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\hat{T}+\frac{|v|^{2}}{R}\hat{N}$

Persamaan inilah yang saya ingin tunjukkan kepada Anda. Hasil ini begitu menakjubkan bagi saya. Oleh karena itu saya ingin menguraikannya di blog ini. Tidak mungkin saya langsung menunjukan bahwa ini ”indah” tanpa saya sama sekali menjelaskan ”what is behind in?”. Semoga Bermanfaat.